CARACTERÍSTICAS DE LAS CINEMATICA

2- Cinemática, conceptos generales.

Para estudiar los fenómenos del universo, es necesario comenzar por comprender  conceptos básicos como; posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Estos fueron analizados por muchos, pero no fue hasta  Galileo, (el primer científico moderno,  Físico, Matemático y Astrónomo), que maduraron hasta formar una estructura sólida, con cimientos en la matemática.

Galileo es considerado como uno de los fundadores de lo que hoy llamamos el “método científico” y de la Física. Utilizando rudimentarios experimentos, logró avanzar sobre la física aristotélica y cambiar conceptos que estaban firmemente arraigados desde hacía casi 2000 años.

- Estudia las oscilaciones del péndulo, inventando en el proceso una escala de tiempo con su “pulsímetro”.

- La caída de los cuerpos

- El movimiento de los proyectiles.

- Desarrolla una primera concepción de la ley de inercia atribuida erróneamente a Isaac Newton.

Entonces haremos justicia al decir, que en este apartado solo seguiremos sus pasos, su legado.

El movimiento.

Decimos que la cinemática está dedicada al estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio, sin atender a las causas que lo producen. Pero, ¿Cuándo un objeto esta en movimiento? Esta pregunta es seguramente una de tantas que para muchos no es necesario en reparar. Sin embargo es la base fundamental de nuestros futuros estudios y por ello debemos dedicarle un espacio.

¿Un objeto puede estar en movimiento y en reposo a la vez? La respuesta es, aunque curiosa, ¡Sí! Para hablar de movimiento primero es necesario decir quién es el que observa. Para una persona en un tren el movimiento de su portafolio será nulo, pero para alguien en tierra éste y todo lo que esté en el tren se están moviendo.

Es así que la respuesta a la pregunta es otra pregunta ¿Desde dónde se observa? ¿Cómo se está midiendo? Si partimos de la base que un objeto se mueve si modifica su posición con respecto a algo, este algo lo consideramos fijo en el espacio, y será nuestro centro de referencia. , desde allí mediremos.

Ahora imagine lo siguiente; Supongamos que usted es el centro de referencia, y ve girando a su alrededor un grupo de personas. Usted sabe que se mueven ¡sin embargo no modifican la distancia entre ellos y usted! Queda claro, que se requiere más que un punto fijo para poder medir, se necesita un sistema de coordenadas. Solo de esta forma podríamos concluir si un cuerpo está o no en movimiento.

Es así que es posible estudiar el movimiento de los objetos en el interior de un tren con referencia a coordenadas fijas al tren y por otra parte también es posible hacerlo desde un sistema fijo en tierra, o en cualquier otro lugar. El resultado de estos estudios con diferentes coordenadas será lógicamente distinto, pero validos por igual. En esencia las leyes físicas quedarán demostradas en ambos sitios indistintamente de quien observe.

Para un cuerpo real, extenso con cierto volumen, la tarea de observar su movimiento puede ser compleja, por decir algo, ya que deberán estudiarse las posiciones de cada punto del cuerpo en cada momento. Para no hacer de esto un imposible, utilizamos modelos, que tienden a simplificar y racionalizar situaciones, para poder clasificarlas y explicarlas en conjunto. En cinemática podemos distinguir entre dos modelos:

- Cinemática de la partícula o del punto.

- Cinemática del sólido rígido o cuerpo extenso.

Una esfera podrá estudiarse como punto o como cuerpo extenso, según las condiciones que presente.

Las herramientas.

Siendo el lenguaje de la física las matemáticas (para estudiar los movimientos es el análisis vectorial), será necesario hacer una seria lectura de los incisos matemáticos de esta publicación.

2.1- Cinemática del cuerpo puntual.Conceptos de trayectoria, desplazamiento.

Se denomina Cinemática del punto, al estudio del movimiento de los cuerpos – partículas. Estos son objetos que no rotan ni se deforman, o bien cuerpos muy pequeños de masa concentrada, (volúmenes despreciables).

Evidentemente será imposible estudiar el movimiento de un cuerpo si no poseemos un sistema de referencia apropiado. El más extendido sistema (pero no el único), es el conocido como Cartesiano.

Ver Sistema de Coordenadas Cartesianas en “Operaciones con vectores”. Ver vectores

La posición de un cuerpo en un sistema de coordenadas, es un vector que indica en el espacio la ubicación del punto. Si a lo largo del tiempo un cuerpo describe alguna clase de trayectoria, el vector posición variará. La terna x, y, z será ya no valores fijos, sino cada uno de ellos una posible función del tiempo.

La complejidad que puede encerrar el estudio del movimiento de los cuerpos, nos hace que busquemos muchas veces atajos, representaciones convenientes. Por ejemplo podemos descomponer un movimiento complejo en una suma de partes más simples, como una suma de movimientos rectilíneos, o bien circulares. Imagine la odisea  que podríamos sufrir si siquiera intentásemos componer el movimiento de una mariposa, es claro que tenemos limitaciones y admitirlas es el primer paso hacia la comprensión de la naturaleza.

Desde aquí en más iremos paso a paso desentrañando en la medida de nuestras posibilidades el mundo de la física.

Una magnitud vectorial fundamental es el "desplazamiento" Δr, que lo realiza un cuerpo durante un lapso Δt. Este vector está apoyado en una posición inicial “P” y su punta estará en otra posición posterior “Q”. Se define el vector desplazamiento como la diferencia entre los vectores posición final  y posición inicial:

Definición de Desplazamiento.

Como el desplazamiento es un vector, por consiguiente, sigue la ley de suma vectorial. Si un cuerpo realiza un desplazamiento vector a y luego otro b, el desplazamiento resultante es a +b. Ver fig. 

2.2- Velocidad y aceleración.

Si un objeto se desplaza en un tiempo Δt el tramo Δr, se llamará al cociente Δr / Δt  su velocidad media vm en el intervalo de tiempo Δt .

Definición de velocidad media.

Si el intervalo de tiempo Δt es pequeño acercándose a cero, trayecto Δr decrecerá llevando al cociente Δr / Δt al límite. Dándonos como resultado la velocidad instantánea en un punto de la trayectoria. 

Definición de velocidad instantánea.

Y si durante esa trayectoria la velocidad cambia, se define la aceleración media como el cociente entre    Δv  y Δt. 

Definición de aceleración media.

Del mismo modo que se procedió con la velocidad media, la aceleración instantánea se hallará:

Definición de aceleración instantánea.

Hasta aquí los conceptos vistos son absolutamente generales, abstracciones matemáticas que deben ser interpretadas. Esto se hará en movimientos básicos como lo son el rectilíneo el parabólico y el circular.

2.3- MRU Movimiento Rectilíneo Uniforme.

El movimiento más sencillo que puede estudiarse, es el de un punto que se mueve en una trayectoria rectilínea. Movimiento Unidimensional, con sus dos grados de libertad, uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad. Las posiciones y los desplazamientos se dan siempre en la misma recta de acción, siendo el aspecto más resaltante el que su velocidad es constante, uniforme.

El objeto con éste movimiento recorrerá espacios iguales en tiempos iguales. Por ejemplo; una persona caminando puede recorrer cinco kilómetros en una hora, si mantiene su velocidad, entonces recorrerá en dos horas diez kilómetros, en tres quince, etc.

Este movimiento es claramente una idealización, ya que es improbable que un cuerpo no modifique su velocidad. Solo saliendo de la trayectoria recta se está violando la definición de MRU, más allá de que de cualquier forma se mantenga la relación de desplazamiento - tiempo.

Para estudiar un objeto con MRU, elegimos el  sistema de coordenadas Cartesianas con el sentido del eje x según la trayectoria del objeto. 

El símbolo que identifica al desplazamiento en este eje es  “Δx” delta x, o variación de x. Desplazamiento = Vector Posición Final, menos, Vector Posición Inicial.

Anteriormente habíamos llamado al desplazamiento Δr, el cambio en la notación es debido al énfasis en que el movimiento está restringido al eje x.

El cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado será v.

Aquí la velocidad es constante hablar de velocidad media no es pertinente, y por ello no será necesario hacer aclaraciones.

Como sabemos, tanto las posiciones como Δx y v son magnitudes vectoriales, es decir deben contener información no solo de cantidad, sino también dirección y sentido. En particular éste último quedará determinado si respetamos la siguiente regla; se tomarán como positivas todas las cantidades vectoriales (desplazamientos, velocidades, etc.) con sentido igual al del eje, en caso contrario serán negativos.

La representación del vector desplazamiento será como hasta ahora, por medio de una flecha que empieza enxi y termina en xf. Por su parte el vector velocidad es una flecha que se apoya sobre el cuerpo. Estos tienen igual dirección y sentido,  por ello poseen los signos iguales.

Ejemplo: Un corredor se encuentra inicialmente en la posición “i” a 50(m) a la izquierda  de “O” (centro de coordenadas), 10 (s) más tarde llega hasta “f” a 30 (m) a la derecha de “O”. Representamos esquemáticamente y calculamos el desplazamiento y la velocidad.

Para calcular el desplazamiento debemos identificar primero quienes son xi y xf.
Sabemos que inicialmente el objeto se encuentra a 50(m) a la izquierda de “o”, esta es una posición negativa. Luego llegará hasta “f” que está a 30(m) a la derecha, posición positiva. 
Este desplazamiento será expresado analíticamente de esta forma:

Ver vectores
En el presente caso los versores j y k podemos omitirlos.

El signo positivo significa que el vector será hacia la derecha, según lo previsto.
A continuación hallamos la velocidad,  planteamos:

Como era de esperarse la velocidad es positiva, apuntará hacia la derecha.

Las unidades de velocidad son las derivadas de aquellas utilizadas para medir  las distancias y los tiempos, en este caso metros y segundos.

Gráficos posición - tiempo y velocidad - tiempo.

La gráfica de una función Física, es el conjunto de puntos en el plano formado por, el eje horizontal, de Abscisas, y el vertical de las Ordenadas.

Generalmente el eje de las abscisas es el eje del tiempo, dominio de la función, y el de las ordenadas y=f(t), puede ser cualquier variable física, como velocidad posición aceleración etc.

La primera gráfica podría representar una magnitud que no varía a lo largo del tiempo.

La segunda y tercer grafica, representan a dos magnitudes que son proporcionales. Cualquiera de ellas podría representar a la función posición tiempo en un MRU.

Ahora bien; ¿Cómo podríamos obtener un esbozo de ellas?
De la definición de velocidad, despejando obtenemos:

Ésta es una función posición - tiempo, del mismo tipo que  f(x) = ax +b. En donde “a” juega el papel de v, y el termino “b” (ordenada en el origen) es xi posición en el instante cero.
De este modo  podemos construir cualquier grafica posición tiempo x(t) y ésta dependerá de dos factores fundamentales; la Velocidad  y la Posición inicial.

Ejemplo, supongamos que v = 2,0(m/s) horizontal derecha;  xi = 1,0 (m) horizontal derecha.    Sustituyendo:        x  = 2,0(m/s) . t + 1,0 (m)
Para poder representarla punto a punto, debemos primero obtener la tabla de valores. Esta la obtenemos sustituyendo “t” por : 0 –1-2-3.....etc. Para c/u de estos valores sustituidos encontramos los distintos “x”.

Otros Ejemplos:

Suponiendo:

La pendiente de la recta.

La pendiente de cualquier recta puede calcularse como el cociente entre “h” y “b”. Ver dibujo adjunto.

Siendo “h” una medida leída en el eje de ordenadas y “b” en el de abscisas. Ambos lados son catetos de un triangulo limitado por la recta inclinada, aquí en rojo. Recordando el cálculo de la tangente, encontramos que:

Por ello diremos que la pendiente de una recta es igual al coeficiente angular de la tangente de ésta.
Por otra parte si en la función X(t) hallamos la pendiente; h será un valor leído en el eje de las posiciones y b en el eje de los tiempos.
Toma nota:
La pendiente en el gráfico X(t) es la velocidad del objeto.

Nota:

- Las funciones lineales anteriores fueron pintadas según su pendiente. Las en rojo poseen pendiente positiva, la azul negativa.
- Las rectas cortan al eje del tiempo en un punto, momento preciso en el que el cuerpo pasa por “O”.

El área debajo de una curva v(t).

El MRU tiene como  característica principal la velocidad como constante, independiente del tiempo. La gráfica velocidad – tiempo es de la forma y = f(x) = k 

El área debajo de esta curva, puede hallarse como: b . h = ∆t . v que a su vez es igual al Δx.

Toma nota:
El área debajo de la curva v(t), en un lapso de tiempo es el desplazamiento del objeto en ese mismo lapso.

2.4- MRUV Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.

Este movimiento al igual que el visto anteriormente es una idealización, nos servirá para aproximarnos a situaciones reales. Podremos relacionarlo al movimiento de objetos dentro de determinados parámetros, por ejemplo a cuerpos en caída libre si ignoramos factores como el de la resistencia del aire.
Los objetos con MRUV, poseen trayectoria rectilínea y velocidad proporcionalmente variada. Es decir; la velocidad aumenta o disminuye proporcionalmente al tiempo En cualquier caso se le llama al movimiento acelerado, aunque puede distinguirse entre los casos de aceleración y des-aceleración.
Es la variación de velocidad la que da lugar a la definición de aceleración, siendo esta: el cociente entre  la variación de velocidad “delta  v” y el tiempo empleado en esta variación “delta t”.

Si éste cociente es constante para cualquier variación de velocidad en tiempo, se llamará al movimiento uniformemente variado. Esto significa básicamente que la velocidad aumenta o disminuye, una cantidad determinada en intervalos de tiempo iguales.
Por ejemplo:
Si decimos que un objeto posee una aceleración de 2,0(m/s²), implica que aumenta su velocidad a razón de 2,0(m/s) en cada segundo. Digamos que en tiempo cero (momento que comenzamos a estudiar el movimiento), el cuerpo tiene velocidad 10(m/s); en t = 1,0 segundos tendrá 12(m/s); en t = 2,0(s) , 14(m/s); en t = 3,0 , 16(m/s) etc.

La aceleración como la hemos definido es un vector, ya que es el resultado de la variación de un vector “velocidad” sobre un escalar “el tiempo”, y poseerá igual dirección y sentido que ∆v. Puede representarse desde la punta de v inicial hasta la punta de v final (ver diferencia de vectores) 

 Nota:
Cabe resaltar que no es necesario que haya un cambio en el modulo de la velocidad para que exista aceleración, alcanza con que las velocidades no posean igual dirección para que se manifieste una variación en esta, implicando una aceleración. Dejaremos pendiente este punto para concentrarnos por el momento en movimientos con trayectoria rectilínea.

La aceleración podrá ser positiva o negativa, según su sentido sea igual al eje, o contrario a él. En el dibujo anterior si el eje “x” es horizontal derecha la aceleración será positiva.
Importante:
No debe confundirse el signo de una aceleración con las características del movimiento, acelerado o desacelerado, ya que estas responden  a conceptos diferentes.
El primero “signo”, responde al sistema coordenadas, y como éste es fijado por los observadores según su preferencia, el signo podrá variar para uno u otro sistema.
El segundo, responde a las características observables del fenómeno, (es independiente del sistema de coordenadas), la velocidad podrá ir en aumento o disminuir.
Este segundo punto señala una observación momentánea del comportamiento del cuerpo que podría cambiar, (no es poco común que un mismo cuerpo con MRUV, pase de estar desacelerado a acelerado, como por ejemplo un objeto lanzado verticalmente hacia arriba).  

Gráficas Posición-tiempo, velocidad tiempo y aceleración-tiempo.

Partiendo de la base que este es un movimiento donde el cociente entre variación de velocidad y tiempo es constante, (aceleración constante). El gráfico a(t), será el de una función constante.

Los gráficos velocidad tiempo son un tanto más interesantes que los anteriores y pueden obtenerse partiendo de la definición de aceleración.

Que nos posibilita sabiendo cualquier a constante para todo tiempo obtener una tabla que luego se graficará.

Supongamos un automóvil con aceleración 1,0(m/s2), con velocidad inicial 9,0(m/s).

Hallemos la pendiente: 

Toma nota: La pendiente de la curva en la función velocidad-tiempo v(t), resulta en el cálculo de la aceleración.

Queda preguntarnos si el área debajo de esta curva significa algo. Cuando nos referimos al MRU, el área debajo de la grafica v(t) es el desplazamiento. Veamos si llegamos a la misma conclusión.
Supongamos un vehículo que aumenta su velocidad de a “saltos”. Poe ejemplo uno que mantiene una velocidad de 9,0(m/s) durante 1,0 segundo, para luego saltar y adquirir una nueva velocidad de 10(m/s) manteniéndola durante otro segundo, y así dando saltos en su velocidad cada segundo que pasa.

Como se puede observar en la gráfica se comienzan a formar una sucesión de figuras rectangulares cuya área es aproximadamente el área debajo de la curva v(t).
Al imaginar saltos en la velocidad cada vez más pequeños, pasaríamos a confundir las dos áreas, (la suma de las figuras con la de v(t)). Ahora bien; el área de cada figura representa el desplazamiento del objeto con velocidad “v” en un tiempo Δt. Por consiguiente la suma de todas ellas no será otra cosa que el desplazamiento de un móvil con MRUV en un determinado lapso de tiempo. Por supuesto hay un procedimiento mucho menos penoso para hallar el área de v(t), como la de un trapecio, o bien el área de dos figuras, triangulo más rectángulo.

Nota: La suma sucesiva de estos rectángulos nos dará el desplazamiento "Δx" . En otras palabras; el área de la curva en la función velocidad-tiempo v(t), resulta  el desplazamiento del móvil.

Planteamos: Área del rectángulo + Área del triangulo.

De donde recordando la definición de aceleración (media) y  sustituyendo obtenemos:

Con esta última ecuación precisamente podemos obtener las posiciones del objeto a lo largo del tiempo.

Supongamos que nuestro automóvil tenía una posición inicial en -20(m) en ti =0,0(s).

El gráfico posición-tiempo en éste movimiento con a constante es un arco de parábola. Si quisiéramos hallar la velocidad en una posición dada. Sin utilizar otro recurso que la información que aparece en la figura, podríamos encontrarnos con un problema, ya que desconocemos la aceleración y sin ella difícilmente podremos obtener una velocidad posterior a la de partida. Pero podríamos operar así:
Digamos que queremos hallar la velocidad en t=1,0(s) en donde la posición es -16,5(m). Tomamos una posición posterior sobre la curva, digamos cuando el tiempo es 3,0(s). Con estos puntos trazamos una recta y sabemos por el estudio del MRU que la pendiente de esta recta da como resultado la velocidad.

La velocidad que obtendríamos de esta forma sería en realidad una velocidad media ya que estaría comprendida entre dos posiciones. Si queremos tener mayor aproximación debemos elegir posiciones sobre la curva que tiendan cada vez mas a acercarse a la posición donde me interesa conocer realmente la velocidad.

Queda claro que cuanto más nos acercamos a la posición de interés vamos obteniendo valores de velocidad media que se asemejan a la velocidad en t=1,0(s). Pero encontramos un problema con este mecanismo Cuanto más cerca estamos, el calcular la pendiente se hace más y más difícil, trabajando con valores infinitamente pequeños,  ∆t se hace aproximadamente cero.
Pero no esta todo perdido, con puntos infinitamente próximos al deseado comprobamos que la recta que veníamos trazando se hace tangente a la curva. Hemos llegado al limite en este momento de lo que podemos lograr utilizando simples trazados. Pero hemos logrado un resultado relevante, hemos conseguido calcular la velocidad instantánea.
Tome nota:
Si calculamos la pendiente a la tangente en un punto dado, alcanzamos a calcular la a velocidad instantánea.

Este método es llamado “método gráfico”,   el “método analítico” se logra con la ayuda de un procedimiento conocido como derivación. Como es de esperar el método gráfico con el trazado de la tangente a la curva (aquí en rojo) y el cálculo de su pendiente, nos da una idea aproximada de la velocidad en un momento dado, Pero no es un mecanismo muy confiable, ya que depende de la pericia que podemos tener como dibujantes.

Tipos de movimiento en el pistón, en el péndulo y en la onda

El sistema biela-manivela de una máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplaza a lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela, articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. El pie de biela está articulado en una pieza denominada patín solidaria con el pistón que se desplaza entre dos guías. El pistón describe un movimiento oscilatorio que como vamos a ver no es armónico simple, aunque se puede aproximar bastante a éste. Descripción del movimiento Supongamos que la manivela tiene radio r, y la biela tiene una longitud l (l>2r). La manivela gira con velocidad angular constante ω, y el pistón oscila. La posición del pistón respecto del centro de la rueda es Si situamos el origen en la posición en la posición del pistón para θ=90º. Posición del pistón Si la manivela se mueve con velocidad angular ω constante, la posición del pistón en función del tiempo es El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale El valor mínimo se obtiene para ωt=π, En la figura, se representa la posición x del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo) x=r·sen(ω·t+π/2)=r·cos(ω·t) El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale x=+r El valor mínimo se obtiene para ωt=π, y vale x=-r Velocidad Derivando la posición x con respecto al tiempo obtenemos la velocidad En la figura, se representa la velocidad v del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo) v=-r·ω·sen(ω·t) Aceleración Derivando la velocidad v con respecto al tiempo obtenemos la aceleración Simplificando se llega al resultado En la figura, se representa la aceleración a del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo) a=-r·ω2·cos(ω·t) Aceleración nula, máxima velocidad La velocidad es máxima cuando la aceleración es cero. Para calcular los ángulos ω·t para los cuales la aceleración es cero, hay que resolver la ecuación Las operaciones que hay que realizar son las siguientes Se sustituye sen2(ωt)=1-cos2(ωt) y cos(2ωt)= cos2(ωt) - sen2(ωt) =2 cos2(ωt)-1 Se eleva al cuadrado ambos miembros y después de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la ecuación Haciendo el cambio de variable z=cos2(ωt) se obtiene la ecuación cúbica Para calcular las raíces de la ecuación cúbica z3+az2+bz+c=0 Calculamos los valores de Q y R dados por Si R2>Q3 tenemos una raíz real y dos complejas, en caso contrario, hay tres raíces reales. Supongamos que se cumple la primera condición. La condición R2>Q3  equivale a 27r4-33r2l2>5l4 Como r>l esta condición no se cumple Como R2<Q3 entonces la ecuación tiene tres raíces reales Conocida las raíces de la ecuación cúbica  z se calcula el ángulo ωt. De las tres raíces, una es negativa (no se puede hallar la raíz cuadrada), otra es mayor que la unidad (la raíz es también mayor que la unidad y no se puede calcular en arco coseno) y la tercera, la única válida, está comprendida entre 0 y 1. La aceleración es nula en dos instantes   Ejemplo: Sea r=1.0 y l=2.0 R=5.037         Q=7.11 Comprobamos que R2<Q3 la ecuación cúbica tiene tres raíces reales z1=-5.172 z2=4.028 z3=0.1434 La velocidad es máxima (en módulo) o la aceleración es cero para QUE MOVIMIENTO TIENE UN PÉNDULO También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo. Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico. Ecuación del movimiento[editar] Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria. Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos donde el signo negativo tiene en cuenta que la  tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple Período de oscilación[editar] Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º). El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por: Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie: Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil: Solución de la ecuación de movimiento[editar] Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud  (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud  (gris). Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:   Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además: , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud . , es la energía potencial. Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como: Donde: , es la función elíptica de Jacobi tipo seno. El lagrangiano del sistema es , donde  es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y  es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: . Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo. MOVIMIENTO DE UNA ONDA Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas o montes y valles, y usualmente es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal es aquella con las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Onda longitudinal es aquella con vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos incluyen ondas sonoras. Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales sinusoidales. Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos orbitales. Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes: Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo. Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas. Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio. Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección. Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad. Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.