TRIGONOMETRIA: Tipos de movimiento en el pistón, en el péndulo y en la onda

El sistema biela-manivela de una máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplaza a lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela, articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. El pie de biela está articulado en una pieza denominada patín solidaria con el pistón que se desplaza entre dos guías. El pistón describe un movimiento oscilatorio que como vamos a ver no es armónico simple, aunque se puede aproximar bastante a éste.

Descripción del movimiento

Supongamos que la manivela tiene radio r, y la biela tiene una longitud l (l>2r). La manivela gira con velocidad angular constante ω, y el pistón oscila. La posición del pistón respecto del centro de la rueda es

Si situamos el origen en la posición en la posición del pistón para θ=90º.

Posición del pistón

Si la manivela se mueve con velocidad angular ω constante, la posición del pistón en función del tiempo es

El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale

El valor mínimo se obtiene para ωt=π,

En la figura, se representa la posición x del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

x=r·sen(ω·t+π/2)=r·cos(ω·t)

El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale x=+r
El valor mínimo se obtiene para ωt=π, y vale x=-r

Velocidad

Derivando la posición x con respecto al tiempo obtenemos la velocidad

En la figura, se representa la velocidad v del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

v=-r·ω·sen(ω·t)

Aceleración

Derivando la velocidad v con respecto al tiempo obtenemos la aceleración

Simplificando se llega al resultado

En la figura, se representa la aceleración a del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

a=-r·ω²·cos(ω·t)

Aceleración nula, máxima velocidad

La velocidad es máxima cuando la aceleración es cero. Para calcular los ángulos ω·t para los cuales la aceleración es cero, hay que resolver la ecuación

Las operaciones que hay que realizar son las siguientes

Se sustituye sen²(ωt)=1-cos²(ωt) y cos(2ωt)= cos²(ωt) - sen²(ωt) =2 cos²(ωt)-1

Se eleva al cuadrado ambos miembros

y después de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la ecuación

Haciendo el cambio de variable z=cos²(ωt) se obtiene la ecuación cúbica

Para calcular las raíces de la ecuación cúbica

z³+az²+bz+c=0

Calculamos los valores de Q y R dados por

Si R²>Q³ tenemos una raíz real y dos complejas, en caso contrario, hay tres raíces reales. Supongamos que se cumple la primera condición. La condición R²>Q³ equivale a

27r⁴-33r²l²>5l⁴

Como r>l esta condición no se cumple

Como R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

Conocida las raíces de la ecuación cúbica z se calcula el ángulo ωt.

De las tres raíces, una es negativa (no se puede hallar la raíz cuadrada), otra es mayor que la unidad (la raíz es también mayor que la unidad y no se puede calcular en arco coseno) y la tercera, la única válida, está comprendida entre 0 y 1.

La aceleración es nula en dos instantes

Ejemplo:

Sea r=1.0 y l=2.0

R=5.037 Q=7.11

Comprobamos que R²<Q³ la ecuación cúbica tiene tres raíces reales

z₁=-5.172
z₂=4.028
z₃=0.1434

La velocidad es máxima (en módulo) o la aceleración es cero para

QUE MOVIMIENTO TIENE UN PÉNDULO

También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.

Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento[editar]

Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

$F_\text{t} = - mg\sin\theta = ma_\text{t} \,$

donde el signo negativo tiene en cuenta que la $F_\text{t}$ tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

$a_\text{t} = \ell \ddot\theta\ \,$

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

$\ell \ddot\theta\ + g\sin\theta = 0\,$

Período de oscilación[editar]

Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

$T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}$

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

$T = 4\sqrt{\ell\over g}K\left(\sin \frac{\varphi_0}{2}\right) = 4\sqrt{\ell\over g} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}\sin^2 \theta}}$

Donde φ₀ es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

$T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g} \left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2 \frac{\varphi_0}{2}+ \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4 \frac{\varphi_0}{2}+ \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\sin^6 \frac{\varphi_0}{2}+ \dots \right]$

Solución de la ecuación de movimiento[editar]

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud $\phi_0 = 0,999\pi$ (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud $\phi_0 = 0,25\pi$ (gris).

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

$t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{\phi(t)} \frac{ld\theta}{\sqrt{E-U(\phi)}} =$ $= \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta -\cos\phi_0}} = \sqrt{\frac{l}{4g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\sin^2\frac{\phi_0}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}$

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

$E = -mgl \cos \phi_0\;$ , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud $\phi_0\;$ .

$U(\phi) = -mgl \cos \phi\;$ , es la energía potencial.

Realizando en variable $\sin\xi = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}}\;$ , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

$t = \sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\Phi} \frac{d\xi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\phi_0}{2}\sin^2\xi}} \Rightarrow \qquad \phi(t) = 2\arcsin \left(\mbox{sn}\ \sqrt{\frac{g}{l}}t \cdot \sin{\frac{\phi_0}{2}}\right)$

Donde:

$\mbox{sn}(t)\;$ , es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

$\sin\Phi = \frac{\sin\frac{\phi(t)}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}}$

El lagrangiano del sistema es $\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 - mgl\cos{\theta}$ , donde $\theta$ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y $l$ es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: $l^2\ddot{\theta} + gl\sin{\theta} = 0$ . Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.

MOVIMIENTO DE UNA ONDA

Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas o montes y valles, y usualmente es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal es aquella con las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Onda longitudinal es aquella con vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos incluyen ondas sonoras.

Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales sinusoidales.

Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos orbitales.

Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes:

Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.
Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.
Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.
Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.
Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.
Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

TRIGONOMETRIA

jueves, 10 de abril de 2014

Tipos de movimiento en el pistón, en el péndulo y en la onda